यदि रेखा frac{x + 1}{2} = frac{y - 2}{1} = fr | vedclass

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Question

(A) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ है।रेखा और समतल के

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$\sqrt{\frac{5}{3}}$

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(A) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ है।रेखा और समतल के बीच का कोण $\alpha$ का सूत्र $\sin \alpha = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-k)^2} = \sqrt{5 + k^2}$.$\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 2k = 2k$.अतः,$\sin \alpha = \frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}}$.दिया गया है कि $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.दोनों को बराबर करने पर: $\frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|2k|}{\sqrt{5 + k^2}} = 1$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4k^2 = 5 + k^2 \Rightarrow 3k^2 = 5 \Rightarrow k^2 = \frac{5}{3}$.अतः,$k = \sqrt{\frac{5}{3}}$।

यदि रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{-2}$ और समतल $x - 2y - kz = 3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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